【超重要！】sinを用いた三角形の面積の求め方

中学までの三角形の面積の求め方は

底辺×高さ÷2で答えが出せました。

ですが三角比を用いた三角形の面積の求め方は

この方法は使えません。

ですので今回は新しく面積の公式を

覚えてもらう必要があります！

ではどうやって求める事ができるのか？

辺bc×sinA÷２で面積の答えが出せます！

（辺acならばsinB,辺abならばsinCで計算する）

従来とほぼ同じ形なのですぐ頭に入ると思います！

この公式さえ覚えてしまえば

三角比の面積問題はすぐ分かるので

絶対に覚えて帰って下さい！

注意点としてこの公式は角度の値が

必要なので余弦定理を先に使う可能性があります。

これらの事を踏まえた上で例題を

解いてみましょう。

（例題）

次の△ABCの面積Sを求めること。

a=8,c=3,B=60°

この場合はとても単純でそれぞれの値を

公式に当てはめて計算すれば答えが出せます

8×3×√3/2÷2を計算します。

すると答えは6√3になります！

余談ですが三角形を用いる時の三角比は必ず

sinΘで計算する必要があります。

cosΘ、tanΘを使うと当然ですが

負の値がでるため答えが出せません。

また今回用いた公式はsinA、辺aのような

同じ値は入らない事も頭に入れてください！

最後に復習として問題を出しますので

分かった方はコメントをお願いします！

（問題）

△ABCにおいて、a=4√2,b=5,c=7の時

次の値を求めること。

（1）cosA　（2）sinA　（3）△ABCの面積

今回はこれで終了です。

ご覧頂きありがとうございました！

【入試で出るかも】正弦定理と余弦定理を用いた問題

正弦定理と余弦定理では

それぞれ問題が異なっていましたが

今回は2つとも使わないと解けない問題を

解いていきます。

これが解ければ正弦定理と余弦定理

両方使いこなせている証になりますので

ぜひ解いてみましょう！

正弦定理と余弦定理両方を用いる問題は

一体どんな感じなのかピンとこないと思います。

例題を出すとこんな感じです。

（例題）

sinA:sinB:sinC=13:15:7の時、Aの角度を求める事

一見するとどこから解くべきなのか

全く分からない人もいると思います。

しかしこれは角度を求める余弦定理を

使う事によって答えを導き出せます！

今回はこの例題を使って解いていきます。

ヒントなしで自力で解くのはかなり難しいと

思うので解説を見る事をお勧めします。

まずは正弦定理を用いて値の比を出します。

半径をRとし公式を少し変えてsinA=a/2R,

sinB=b/2R,sinC=c/2Rとなります。

sinA:sinB:sinC=13:15:7を利用して、

a/2R:b/2R:c/2R=13:15:7となります。

aとbとcは共通して分母に2Rがついているので

それを取り除くとa:b:c=13:15:7となります。

これで値の比は出せました！

次にこの比率を利用します。

a:b:c=13:15:7よりa=13k,b=15k,c=7k

と表すことができます。

（13k:15k:7k=13:15:7の形になる）

そして角度を求める余弦定理を使います。

今回は正確な値が分からないので13k,15k,7kを

値として計算しましょう。

Aの角度を求めたいのでcosAの公式を使います

(15k)²＋(7k)²-(13k)²/2・15k・7kとなり、

計算すると105k²/210k²になります。約分すると

1/2になり、A=60°が答えになります！

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

正弦定理と余弦定理を用いた問題は

今回のように自力で解くのがとても難しい

内容となっています。

ですので先ほどにも言ったように分からない場合は

解説をみてもう一度解く方法もありだと思います！

そして解き方が頭に入っているか確認しましょう！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】余弦定理を用いた角度を求める方法

これまでは正弦定理と余弦定理を用いて

鋭角、鈍角三角形の値を求めてきました。

しかし余弦定理では値を求めるだけでなく

角度を計る時にもよく使われるので

角度の求め方も必ず覚えるようにしましょう！

（正弦定理は角度は求められない）

直角三角形では三角比の角度の値を覚えれば

それで求める事ができましたが鋭角、鈍角三角形

ではさらに公式を用いる必要があるので分からないと

角度は絶対に求める事ができません。

角度を求める公式は余弦定理を

利用したものなので最低限余弦定理を

覚えていれば大丈夫です。

まず鋭角、鈍角三角形の角度を

求めるための公式を見てみましょう。

cosA=b²＋c²－a²/2bc、cosB=c²＋a²－b²/2ca、

cosC=a²＋b²－c²/2abです。

この公式の形、なにか見覚えありませんか？

余弦定理a²=b²＋c²－2bccosAをそのまま使って

cosA=〇の形に直しただけです。

cosAの部分を左辺に持ってきて、a²を右辺に

持ってきて両辺に2bcを割っただけなので

最低限余弦定理を覚えればこの公式が出せます。

（もちろん他の2つも出せる）

角度を求める公式を理解した上で

さっそく問題を解いてみましょう。

（問題）

a=13,b=7,c=15の時、Aを求めること。

この場合はcosA=b²＋c²－a²/2bcの公式を

使って解きます。それぞれの値を代入すると

7²＋15²－13²/2×7×15となり、1/2となります

cosA=1/2なので答えは60°です。

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

何度も言うように角度を求める公式は

余弦定理を用いているので最低限それさえ

覚えていれば公式を出すことができますが、

形だけでも覚えるようにしましょう。

復習として問題をだします。

分かった方はコメントでお願いします！

（問題）

a=3,b=√14,c=√15の時、Bを求めること。

以上です！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】余弦定理を正しく使うには

今回は正弦定理でやった時と同じで

余弦定理を用いて問題を解くブログ

となっています。

こちらも公式は覚えているが

使い方がいまいち分からない人向け

ですので必ず覚えるようにして下さい！

余弦定理、正弦定理の違いを理解できない

ままにしてしまうとこれらの定理を用いた

問題が解けないので

これだけは絶対に避けて下さい！

2つの公式をマスターすると鋭角、鈍角三角形を

解くのに必要な基礎知識はほぼ完成します！

ですので余弦定理も覚えてしまいましょう！

余弦定理の公式は覚えていると思うので

使う場面を理解すれば大丈夫です。

余弦定理は3つあり

a²=b²＋c²－2bccosA

b²=c²＋a²－2cacosB

c²=a²＋b²－2abcosCでした。

またこれらの公式は

辺の長さが2つ判明している時や

角度が1つしかない時によく用いるので

必ず覚えて下さい！

これらの事を頭に入れた上で

問題を解いてみましょう。

（問題）

a=2√2,c=√6,B=150°の時、bを求める事。

この場合はb²=c²＋a²－2cacosB

の公式を用いて計算します。

それぞれ値を代入すると

6＋8－2×√6×2√2×(－√3/2)

これを計算すると26となります。

しかしこれはbを2乗した時の数なのでbの値を

求めるために√を付け加える必要があります。

よって答えは√26です。

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

何度も言っているように

今回の目的は正弦定理と余弦定理の

使い道、解き方を理解する事なので

どちらも覚えれば大丈夫です！

復習として問題を出します！

正弦定理、余弦定理どちらを使って

解くのか考えた上で問題に

取り組んでほしいです！

（問題）

(1)a=2√3,B=120°,C=15°の時、bを求める事

(2)a=10,b=5√2,C=45°の時、cを求める事。

分かった方、質問ある方は

コメントでお願いします！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】正弦定理を正しく使うには

今回は正弦定理を用いて

実際に問題を解くブログとなってます。

公式は覚えたがどうやって使うか

いまいち分からない方は

このブログで完全に理解して下さい！

使い方が分からないと

この先の余弦定理を用いる問題と

こんがらがる可能性があります。

この2つの公式の使い方、解き方が

分かれば問題につまずく事はありません！

公式はもうすでに覚えていると思うので

使う場面を理解すれば大丈夫です。

正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

(Rは半径)という公式でした。

この公式を使う問題は角度が2つ判明

している時、半径を用いる時です。

また半径を用いる問題は

正弦定理しかないので

必ず覚えておいて下さい！

これらの事を頭に入れた上で

問題を解いてみましょう。

（問題）

(1)a=4,A=45°,B=60°の時、bを求める事。

(2)次の△ABCの外接円の半径Rを求める事。

a=2,B=45°,C=75°

(1)の問題ではa/sinA=b/sinBを用いて解きます。

それぞれ値を入れると4/sin45°=b/sin60°

両辺にsin60°を掛けてb=4sin60°/sin45°にします

これを計算すると

4×√3/2÷1/√2となり、

答えは2√6となります。

(2)の問題はaの値はあるが

Aの角度だけない問題となってます。

この場合は180°から角BとCを引いた

数がAの角度になるのでまずそれを求めます。

するとA=60°になったのでa/sinA=2R

が使えるようになります。値を代入すると

2R=2/sin60°になりR=2/2sin60°の形にします

約分して1÷√3/2となり、答えは2√3/3です。

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

今回の目的は使い道と解き方を

知る事なので正弦定理を用いる問題を

よく確認するようにして下さい！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】直角三角形以外で長さと角度を求めるにはこの二つの公式が必須！！

これまでは直角三角形の辺の長さや角度

を求めてきましたが、鋭角三角形や

鈍角三角形の辺の長さや角度を求める

問題が出てきます。

もちろん鋭角、鈍角三角形では

これまで学んだ三角比の公式が使えません。

ではどうやって求めるのか？

そこで必要になるのが

正弦定理と余弦定理です！！

この2つの公式があれば

鋭角、鈍角三角形の角度や

辺の長さを求める問題に対応できるので

絶対に覚えて帰って下さい！

まずは正弦定理と余弦定理について覚え、

どの場面で使われるか把握しましょう。

1. 正弦定理

正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

(Rは半径)という公式で主に半径を用いる時や

問題文に角度が2つ判明している時に

よく使われます。

問題を出すとこんな感じです。

(1)△ABCにおいて次の問に答えること。

b=6,A=30°,B=45°のとき、aを求めること

(2)次の△ABCの外接円の半径Rを求めること。

a=6,A=60°

今回は正弦定理を使う問題を把握

する事が目的なので解く必要はありません。

ちなみに答えは(1)a=3√2   (2)2√3です。

これで正弦定理の問題は把握できたと思います

2. 余弦定理

余弦定理はそれぞれ3つあります。

a²=b²＋c²－2bccosA

b²=c²＋a²－2cacosB

c²=a²＋b²－2abcosCです。

この公式は主に

問題文に辺の長さが2つ判明している

時によく使われます。

問題を出すとこんな感じです。

（問題）

△ABCにおいて次の問に答えること。

(1)b=3√3,c=2,A=30°の時、aを求めること

答えは(1)a=√13です。

これで余弦定理が使われる問題は

把握できたと思います。

お疲れ様です。

今回はこれで終了です！

この2つの公式覚えてないと

先に進む事が出来ないので

今すぐ覚えて下さい！！

ご覧頂きありがとうございました！

【これまでの応用！】tanΘを用いた等式、不等式の角の求め方

tanΘはかなり特殊な性質をしているため

等式、不等式の解がsinΘ、cosΘと

大きく異なってきます。

個人的には三角比の式で

一番難しい所だと思うので理解できれば

直角三角形を用いた三角比の問題は

全て解けるようになります！

定期試験などでどこの問題が出されても

分からなくて解けない事は

無くなると思います！

tanΘの等式、不等式の解き方は

sinΘ、cosΘと同じなので解いてみましょう

またtan90°は値が存在しない事も

頭に入れておきましょう！

（問題）

0°≦Θ≦180°のとき、次の等式を満たす

角Θを求めること。

(1)tanΘ=1/√3　　(2)tanΘ=0

（答え）

(1)30°　　(2)0°、180°

等式は三角比の値の表を覚えれば

一瞬で答えが出せます！

しかし問題は不等式です。

不等式ではtan90°の値が存在しないため

解答がsinΘ、cosΘと比べ少しややこしいです。

（問題）

0°≦Θ≦180°のとき、次の不等式を満たす

角Θの値の範囲を求めること。

(1)tanΘ≧－1/√3

例えばの話ですが

tanΘを用いた不等式問題で

範囲が60°≦Θ≦180°になる事は

絶対にあり得ません！

この場合は60°≦Θ＜90°のように

一回区切りを付ける必要があります。

それを踏まえた上で説明します。

一度tanΘ=－1/√3と考えて角度を

出してみましょう。

すると解は150°になります。

向きは＞なのでtanΘ=－1/√3より

大きい値の範囲を答えれば良いわけです。

答えは150°≦Θ≦180°なのですが、

それだけではありません！

0°から90°までは正の値なので

ここも範囲に含まれます！

よって答えは

0°≦Θ＜90°、150°≦Θ≦180°です！

tan90°は値がないので≦はできない。

tanΘを用いた不等式問題も

sinΘ、cosΘの問題でやったように

角度を出すところから始めましょう！

今回の内容を踏まえて

問題を出しますので分かった方は

コメントで教えて下さい！

（問題）

0°≦Θ≦180°のとき、次の不等式を満たす

角Θの値の範囲を求めること。

(1)tanΘ＋1＞0

今回はこれで終了です。

ご覧頂きありがとうございました！