【分からない方必見！】不等式に合う角の求め方

当然ですが等式と不等式では答えが

大きく異なります。

不等式は範囲を求める問題なので

等式のように解を一つ出す

だけでは正解とはなりません。

解を出した上でさらに

問題文の条件に合う範囲を

答えて初めて正解が出せます！

不等式問題は三角比の中で

難しい分野に入るので解ければ

定期試験や入試問題を解く上で

差が出てきます！

しかし解けなかった場合、

入試問題で全く対応できずに

他の人と差を付けられる可能性があります。

ですので必ず解けるようにして下さい！

問題の解説を見て「sin30°だから範囲は〇〇です」

と言われても難しいので

まずは解を出すところから始めましょう！

（例題）

0°≦Θ≦180°のとき、次の不等式を満たす

角Θの値の範囲を求めること。

(1)sinΘ≧1/√2　　(2)cosΘ＜－√3/2

(1)はまずsinΘ=1/√2と考えて

角度の解を出してみましょう。

この場合の答えはΘ=45°,135°となります。

これで解は出せました！

次に不等式の向きを確認しましょう。

＞の向きならば解より大きい値、

＜の向きならば解より小さい値になります

今回は＞の向きなので、sin45°、135°

より大きい値の範囲を答えれば良いわけです。

よって(1)の答えは45°≦Θ≦135°となります。

(2)も解き方はほぼ同じでcosΘ=－√3/2と

考えて解くとΘ=150°になります。

これで解は出せました！

向きは＜で、cos150°より小さい値の

範囲を出せば良いので

答えは150°＜Θ≦180°になります。

(≦が付くのは0°≦Θ≦180°の条件があるため)

これで不等式に合う角の求め方が

理解できたと思います！

復習として問題を解いてみましょう。

分かった方はコメントで

答えを書いて下さい！

（問題）

0°≦Θ≦180°のとき、次の不等式を満たす

角Θの値の範囲を求めること。

(1)sinΘ＜√3/2　  (2)cosΘ＞1/√2

今回はこれで終了です。

ご覧頂きありがとうございました！

【分からない方必見！】等式に合う角の求め方（応用）

こんにちは、そー麺です。今回は

等式に合う角の求め方（応用編）

について説明していきます！

応用問題は入試問題で

出やすいので理解できれば

試験で大いに役立ちます！

しかし応用力が身につかないと

入試でつまずく可能性があるので

必ず身に着けるように

しましょう！

1. 問題の解き方

等式に合う角の求め方の基礎は

以下のブログで説明しました。

soooomen.hatenablog.com

基礎がイマイチな方は

こちらをご覧ください。

角の求め方の応用問題は

（三角比の式と値）と同様に三角比が

複数用いるような問題となってます。

まずは例題を解いてみましょう。

（例題）

0°≦Θ≦180°のとき、等式sin^2Θ－cosΘ＋1=0

を満たす角Θを求めること。

基礎でやったsinΘ=1などの単純な形ではなく

sinΘやcosΘが入っている複雑な式になってます

難しいと思うかもしれませんが基礎知識と

因数分解の定理を使えば解けます！

以下の写真をご覧ください。

まずsin²Θ＋cos²Θ=1の公式を少し変えて

cos²ΘとcosΘがある形にします。

（後で因数分解して答えを出すため）

因数分解しやすいように－を掛けて

cos²Θ＋cosΘ－2=0に直します。

(cosΘ＋2)(cosΘ－1)=0にし、

cosΘ=－2, 1となります。

問題文では0°≦Θ≦180°の範囲があるので

cosΘで表すと－1≦cosΘ≦1になります。

cosΘの解は2つあるが－2は範囲外なので

答えにはなりません。

よって残りの1は－1≦cosΘ≦1の条件に合うので

cosΘ=1より、Θ=0°が答えになります。

先ほどにも言ったように、

応用問題は公式や因数分解などの

知識があれば解ける問題なので

基礎は必ず押さえるようにしましょう！

2. 今回の問題

0°≦Θ≦180°のとき、次の等式を満たす

角Θを求めること。

(1)2cos^2Θ－3sinΘ=0

(2)tanΘ＋1/cos^2Θ=1

（答え）

(1)Θ=30°、150°

(2)Θ=0°、135°、180°

(1)の問題は例題のように因数分解と

sin^2＋cos^2=1の公式を用いれば

解ける問題となっています。

(2)の問題は1＋tan^2Θ=1/cos^2Θの

公式を用いて解きます。

こちらも因数分解を使えば

解ける問題となってますので

分からなかった人は

もう一度解いてみましょう！

お疲れ様です！

今回の授業はこれで終わりです。

応用問題ではこれまで学んだ知識を

どう活かすかが鍵になります。

今回の例では角の求め方の基礎知識と

因数分解の定理で解けましたが、

それ以外の知識が求められる問題もあるので

基礎は必ず押さえるようにしましょう！

ご覧頂きありがとうございました！

【入試で出る可能性あり】三角比の式と値

こんにちは、そー麺です。

今回は三角比の式と値について

説明していきたいと思います！

この三角比の式と値関連の問題は

実際に入試に出た事があるので

理解するのとしないのでは

大きな差が出てきます！

これが分からないと

入試で解けない問題が

多くなる可能性があります。

1. 問題の求め方

三角比の式と値はsinΘ＋cosΘ=〇

のような三角比が複数用いられる

計算問題となっています。

これまで用いたsin²Θ＋cos²Θ=1などの

公式が使われる問題でもあります。

まずは例題を見てみましょう。

（例題）

０°＜Θ＜９０°において

sinΘ＋cosΘ＝7/5のとき、次の式の値を求める事

(1)sinΘcosΘ　　(2)tanΘ＋1/tanΘ

まず(1)の求め方を説明していきます。

sinΘcosΘは何も書かれてないから

どう解けば良いか分からないと思います。

しかし因数分解の定理を使えば解けます！

以下の写真をご覧ください。

sinΘcosΘが多く出ていますが

因数分解と同じ原理で解いています。

まず、sinΘ＋cosΘを累乗して

解のsinΘcosΘとなる2sinΘcosΘを作ります。

sin²Θ＋cos²Θ＝1の公式を使って

1＋2sinΘcosΘの形にします。

sinΘ＋cosΘ=7/5を累乗して、

さらに1を右辺に持ってきます。

後はsinΘcosΘ＝〇〇の形にして

計算すれば答えがだせます！

次に(2)の求め方を説明していきます。

問題文ではtanΘは出てないから

どうやって解くのか分からない人も

いると思います。

しかしある公式を使えば

簡単に解ける問題となっています！

以下の写真をご覧ください。

こちらはtanΘ＝sinΘ/cosΘの公式のみ

用いて解いています。

1/tanΘは逆数なので

cosΘ/sinΘの形に直して計算します。

その２つを通分して計算すれば

答えが出てきます！

2. 問題

90°＜Θ＜180°において

sinΘ＋cosΘ＝1/2の時、次の式の値を求める事

(1)sinΘcosΘ　(2)sinΘ-cosΘ

（答え）

(1)-3/8　　(2)√7/2

(2)に関してはsinΘ-cosΘを累乗して

sin²Θ＋cos²Θ＝1の公式と

(1)で解を出したsinΘcosΘを使えば

計算すれば解ける問題となっています

お疲れ様です！

今回の授業はこれで終わりです。

どれも公式を覚えていれば

解ける問題ばかりなので

絶対に頭に入れるようにしましょう！

ご覧頂きありがとうございました！

【これまでの理解力が問われる】三角比を用いた計算問題

こんにちは、そー麺です。

今回は三角比を用いた計算問題

について教えます！

タイトルにもある通り、今日は

これまでの三角比の知識が問われるような

問題となっています！

※一部公式を使う場面がある

これが分かることによって

三角比の性質の知識が深まる上に

計算問題も解けるようになるので

解いてみましょう！

しかしこれが分からないと

計算問題を解くのが難しくなる上

三角比の知識が分からない可能性が

あるので一度解くべきです！

1. 計算問題の解き方

そもそも三角比の計算問題は

一体どんな感じなのか分からない人も

いると思います。

例題を出すとこんな感じです。

（例題）

sin100°sin80°－cos80°cos100°

の値を求めること。

このように三角比の計算問題は

sinΘやcosΘの角度が出てきます。

sin45°やcos30°ならば三角比の値で

すぐ答えがだせます。

しかしsin135°やcos60°が一切でない

問題が出てくる場合があります。

sin100°や80°なんて学んでないから解けない！

と思う方もいるでしょう。

しかし安心してください。

ちゃんと解き方が存在します！

（公式をつかいます）

【重要！】等式を満たす角を求めるには？

こんにちは、そー麺です。今回は

等式を満たす角度と値の求め方

について教えます！

この問題は一度三角比の角度の求め方で

解いたことがありますが、

今日はそれに加えて値の求め方も伝えます！

（公式を使わずに簡単に答えが出せる方法です）

これを利用した三角比の値を

求める問題が出る上、これから不等式を

解くにあたって必要な知識になるので

必ず覚えるようにしましょう！

（そのくらい不等式は難しい）

等式が分からないと

不等式などの応用問題が

解けなくなるので

必ず覚えるようにしましょう！

1. 等式を満たす角の求め方

まずはこちらの図をご覧ください。

結論から言うと、等式を満たす角の

求め方は図の値を覚えれば答えが出せます。

ここは【三角比の角度の求め方】と一緒です。

soooomen.hatenablog.com

sinΘの値は基本２つある事を頭に入れましょう。

（例えばsin＝０　Θ＝０°、１８０°など）

※例外としてsin＝１は９０°のみ

cosΘは負の数があるため解が１つだけです。

tanΘも負の数があるため解は基本１つですが

少々特殊なので覚えるようにしましょう。

※tanΘ＝０は０°、１８０°で解は２つ

※tanΘ＝９０°は解はない

2. 等式を満たす値の求め方

次に値の求め方について説明します。

まずは例題を解いてみましょう。

（例題）

sinΘ＝１/５の時、cosΘ、tanΘの値を求めること。

０°≦Θ≦１８０°とする。

教科書ではsin^2Θ＋Θcos^2Θ＝１などの

公式を用いて解くと思います。

しかし自分は公式を用いて解くのは面倒なので

三角比の定理を用いて解いていました。

このようにsinΘの値を利用して

三平方の定理に当てはめると

簡単に解く事ができます！

※公式は使う事があるので覚えた方が良いです。

ちなみに答えは

cos＝２√６/５、tan＝√６/１２です。

※分母の有理化を忘れずに！

3. 問題

１．０°≦Θ≦１８０°のとき、

　　次の等式を満たす角Θを求めること。

（１）sinΘ＝１/２　　　（２）sinΘ＝０

（３）cosΘ＝－√３/２　（４）tanΘ＝－１

2. 次の三角比の値を求めること。

sinΘ＝１/４のとき、cosΘ、tanΘ

（答え）

1. （１）Θ＝３０°、１５０°　　（３）Θ＝１５０°

　（２）Θ＝０°、１８０°　　　（４）Θ＝１３５°

2.　cosΘ＝√１５/４　　　tanΘ＝√１５/１５

お疲れ様です！

今回の授業はこれで終わりです。

これで等式の角度と値の求め方が

分かったと思います。

次の記事は

三角比を用いた計算問題

について書きます。

ご覧頂きありがとうございました！

【分からない方必見！】一次関数を用いた三角比の角の求め方

こんにちは、そー麺です。今回は

一次関数を用いた角度の求め方

について教えます！

今回からはただ角度の値を求めるのではなく、

三角比を用いた様々な問題を解いていきます。

（今日は一次関数について）

組み合わせ問題を解く事によって

三角比の知識を改めて理解できる上

他の一次関数以外の問題も

対応できる力が身につきます！

しかしそれに対応できる力が備わってないと

応用問題が解けないだけでなく

他の問題でつまずいてしまう

可能性があります。

（三角比の計算問題や不等式など）

今回の問題も解けるようにしましょう！

※基礎知識がイマイチな方は

こちらのブログをご覧ください。

soooomen.hatenablog.com

soooomen.hatenablog.com

1. 一次関数の三角比の求め方

まず大前提として一次関数の性質を

理解しておきましょう。

一次関数はｙ＝ａｘ＋ｂのように、

ｘの値が増えるとそれに比例してｙも増えます。

図はｙ＝ｘの形になってますが、

例えばｙ＝２ｘ＋１の場合はＹ座標が１、

傾き（２ｘ）はＸ座標が１進むとＹ座標は

２ずつあがります。

※太字は今回の問題を解く上で重要です

次に例題を用いて説明します。

2. 例題

まずは自力で解いてみましょう。

答えに求め方を書いておきます。

（例題）

次の直線がｘ軸の正の向きとなす

角Θの大きさを求めること。

ｙ＝１/√３ｘ

（解説）

先に答えを言うとΘ＝３０°になります。

まず、ｙ＝１/√３ｘのグラフを書くと

下の図にようになります。

一次関数の傾きは

Ｘ座標が１進むとＹ座標はその傾きの数進みます

（３ｘならば３進み、１/２ｘなら１/２進む）

そこでtanの求め方を使います。

tanは底辺/高さで求める事ができたので

一次関数の傾きと同じになってます。

（Ｘ座標が１進む＝底辺）

（Ｙ座標は傾きの数進む＝高さ）

この図は例題と関係ないですが

一次関数の傾きとtanの求め方が

同じことを表しています。

よってｙ＝１/√３ｘは

tanΘ＝１/√３と表すことができるので

Θ＝３０°となります。

※切片は角度を求めるのには

必要ないので考えなくて大丈夫

3.問題

求め方が分かれば

問題を解いてみましょう。

（問題）

次の直線がｘ軸の正の向きとなす

角Θの大きさを求めること。

（１）ｙ＝－１/√３ｘ

（２）ｙ＝－ｘ＋３

（答え）

（１）Θ＝１５０°　　（２）Θ＝１３５°

お疲れ様です。

今回の授業はこれで終わりです！

冒頭にも言ったように、今回からは

三角比を用いた不等式や方程式などの

組み合わせの問題が出てきます。

ですので組み合わせ問題に

対応できるよう自分も分かる範囲で

解説の記事を書きますので、

これからも頑張っていきましょう！

次の記事は前回の復習も兼ねて

等式を満たす角度と値の求め方

について書きます！

ご覧頂きありがとうございました！

【重要！】90°以降の三角比は負の数が出てくる

こんにちは、そー麺です。今回は

９０°以降の三角比の角度の値

について教えます！

※９０°から１８０°までの範囲です。

この仕組み、知識が理解できれば

鋭角三角形を用いる問題が対応できる上、

２年で学ぶ三角関数（３６０°まで勉強する）

の仕組みにもすぐ分かるので覚えましょう！

もし９０°までの知識しかなかった場合、

鋭角三角形または直角三角形を用いた問題しか

解けなくなってしまいます。

答えられる範囲が限られてしまいます。

1. ９０°以降の値はどうなるか

結論から言うと、９０°以降は

sin,cos,tanによって正と負の数字に分かれます。

こちらの図をご覧ください。

なぜsinだけ正の数でcos,tanが負の数なのか

それぞれ順番に説明していきます。

sinΘが正の数になる理由

まず、sinΘの求め方は

高さ/斜辺で答えが出せました。

次に９０°以降の三角比の図をご覧ください。

※今回は見やすく１３５°の図形にしてます。

見て分かる通り、高さをa、

円の半径（斜辺）をrと表しています。

斜辺は高さと似ており、

X軸より上（１８０°まで）なら正の値です。

sinΘを求めるには高さ、

つまりＹ座標が関係します。

この１３５°の場合は斜辺と高さ共に

正の値となっているので

９０°以降も正の数になっているんです。

cosΘが負の数になる理由

cosΘの求め方は

底辺/斜辺で答えが出せました。

次に９０°以降の三角比の図をご覧ください。

※１３５°の図形となっています。

この図は底辺をb、

円の半径（斜辺）をrと表しています。

cosΘを求めるにあたっては底辺の値、

つまりＸ座標が関係してきます。

この１３５°の場合、斜辺はＸ軸より上に

あるので正の値になりますが

底辺を表すＸ座標は負の値に入っているので

９０°以降は負の数になるんです。

tanΘが負の数になる理由

tanΘの求め方は

高さ/底辺で答えが出せました。

次に９０°以降の三角比の図をご覧ください。

※１２０°の図になっています。

この図は高さをa、

底辺をbと表しています。

tanΘを求めるには底辺と高さ、つまり

Ⅹ座標とＹ座標両方関係します！

この１２０°の場合、高さ（Ｙ座標）は

正の値になっていますが底辺（Ｘ座標）は

負の値になっているので

９０°以降は負の数になるんです。

2. 問題

０°≦Θ≦１８０°の場合、

次の等式を満たす角Θを求めること。

（１）sinΘ＝０　　　　　（２）sinΘ＝１/２

（３）cosΘ＝ー１/２　 　（４）tanΘ＝－１

（答え）

（１）Θ＝０°、１８０°（２）Θ＝３０°、１５０°

（３）Θ＝１２０°　 　（４）Θ＝１３５°

お疲れ様です。

今回の授業はこれで終わりです！

９０°からは答えが変わってくるけど

解き方は０°から９０°の時と全く同じなので

頭に入りやすかったのではと思います。

数１の三角比で学ぶ角度の範囲は

１８０°までなので、今回の内容を理解すれば

全ての角度に対応できる事になります！

なのでここを理解するのとしないのでは

大きな差が出てくると思います！

しっかり頭に入れるようにしましょう！

次の記事は

一次関数を用いた角度の求め方

について書きます！

ご覧頂きありがとうございました！